Materi Fisika Ayunan Matematis

Materi fisika ayunan matematis

Tanggal : 28 Maret 2015

Acara I : Ayunan Matematis

Tujuan :

1. Dapat memahami azaz ayunan matematis dan getaran selaras

2. Dapat memahami cara kerja gaya gravitasi bumi.

3. Dapat menentukan nilai percepatan gravitasi bumi di laboratorium.

Dasar Teori

Percepatan gravitasi bumi (g) adalah percepatan yang di alami oleh benda karena beratnya sendiri. Berat benda adalah ukuran gaya tarik bumi terhadap benda tadi. Gaya ini disebut gaya gravitasi, yaitu gaya tarik menarik antara 2 massa atau lebih.

Jika terjadi interaksi antara 2 benda masing-masing bermasa m dan M, yang berjarak r, pada nilai tetapan gravitasi (tetapan Cavendish (G) = 6,679×10-8dyne cm2/gram2), maka besar gaya interaksi (F) tersebut adalah

Persamaan (I) berlaku umum terhadap semua massa di jagad raya ini. Jika di jumpai sebuah benda massa m yang berada di atas permukaan bumi yang berjarak r terhadap pusat bumi, dan bumi bermassa M maka berat dari m tersebut adalah B sebagai :

Menurut hukum II Newton, jika sebuah benda bermassa m yang tetap dan bergerak dengan percepatan a, maka gaya resultan dari sistem tersebut adalah F = m.a. jika hal ini diterapkan untuk m yang menderita gaya berat B sehingga mengalamin percepatan g, dipenudi hubungan :

Dan diperoleh percepatan gravitasi bumi :

Jika bumi dapat dipandang seperti bola yang berjari-jari R dan tepat dioaermukaan bumi tersebut memiliki percepatan gravitasi bumi g0 maka terdapat hubungan dengan g sebagai :

Untuk m berada pada ketinggian h dari permukaan bumi, maka menjadi:

Jika h<<Rmaka persamaan di atas dapat diketahui dengan persamaan :

Ayunan Matematis

Jika sebuah titik bermassa m tergantung pada seutas tali ringan di titik o dan m disimpangkan sehingga membentuk sudut θ terhadap sumbu vertikal di titik o tersebut. Setelah m dilepas akan bergerak ke titik setimbangnya oleh gaya balik (F) yang merupakan komponen dari gaya berat pada m, jika pajang tali tersebut l, dan percepatan gravitasi bumi g, maka F dapat ditulis sebagai :

F= -mg sinθ

Jika simpangan tersebut kecil sehingga busur lintasan bola (S) juga kecil, maka : sinθ ≈ θ =

Dan gaya balik dapat dilis sebagai :

F = – S

untuk ayunan tersebut bersifat sebagai getaran selaras sederhana maka gaya gesekan udara dan gaya putaran pada tai diabaikan sehingga persamaan gaya resultannya adalah:

m = – S

persamaan di atas merupakaan persamaan deferensias getran selaras sederhana dan S merupakan fungsi periodic dengan periode T yang memenuhi persamaan:

T= 2π

Persamaan inilah yang digunakan sebagai dasar percobaan ini. Persamaan itu bermakna, pada ayunan matematis tanpa puntiran,tanpa gesekan udara, pada simpangan kecil maka pada panjang tali ayunan akan akan berayun dengan periode ayunan T

Azas percobaan

Mengacu persamaan (10) maka g dapat ditentukan bila l diatur dan T diukur. Pada pelaksanaan percobaan,titik massa m dapat diganti dengan bola logam yang cukup berat dibandingkan dengan berat tali penggantungnya. Nilai g akan diperoleh dengan ketelitian yang baik jika selama eksperimen dipenuhi syarat-syarat dibawah ini.

Massa tali dapat diabaikan bila dibandingkan dengan bola besi.

Simpangannya harus kecil (0<15 ). Jika digunakan l yang pendek akan sukar diperoleh θ yang kecil. Disarankan, sebaiknya dipilih l yang panjang, sebab selain mudah membuat θ kecil juga akan mengakibatkan T yang besar sehingga T dapat diukur lebih teliti.

Gaya gesekan dengan udara kecil sehingga bias diabaikan.

Gaya puntiran (torsi) harus tidak ada, jadi tali penggantung tidak boleh terpuntir.

Agar pengukuran periode memiliki ketelitian yang baik, disarankan pengukuran periodenya setiap ayunan,pengukuran dimulai dan diakhiri dititik setimbangnya. Gunakan penentunan g dengan metode grafik, absis merupakan sumbu l sedangkan ordinatb dipilih T . Aturan variasi/sedemikian rupa perubahan/jelas-jelas menyebabkan perubahan T. Sebaiknya panjang /dimulai dari 100 cm, dan divariasi dengan kenaikan 10 cm,dan melibatkan 6 variasi/yang dinyatakan dalam 6 titik data. Gunakan slope ketidakpastian untuk menentukan ralat, (Anonim, 2013).

Bandul matematis atau ayunan matematis setidaknya menjelaskan bagaimana suatu titik benda digantungkan pada suatu titk tetap dengan tali. Jika ayunan menyimpang sebesar sudut terhadap garis vertical maka gaya yang mengembalikan :

F = – m . g . sin θ

Untuk θ dalam radial yaitu θ kecil maka sin θ = θ = s/l, dimana s = busur lintasan bola dan l = panjang tali , sehingga : F = −mgs/l

Beban yang diikat pada ujung tali ringan yang massanya dapat diabaikan disebut bandul. Jika beban ditarik kesatu sisi, kemudian dilepaskanmaka beban akan terayun melalui titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain. Bila amplitudo ayunan kecil, maka bandul sederhana itu akan melakukan getaran harmonik. Bandul dengan massa m digantung pada seutas tali yang panjangnya l. Ayunan mempunyai simpangan anguler θ dari kedudukan seimbang. Gaya pemulih adalah komponen gaya tegak lurus tali.

F = – m g sin θ

F = m a

Maka:

m a = – m g sin θ

a = – g sin θ

Untuk getaran selaras θ kecil sekali sehingga sin θ = θ. Simpangan busur s = l θ atau θ=s/l , maka persamaan menjadi: a= gs/l . Dengan persamaan periode getaran harmonik.

Dimana :

l = panjang tali (meter)

g= percepatan gravitasi (ms-2)

T= periode bandul sederhana (s)

Dari rumus di atas diketahui bahwa periode bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul, melaikan hanya bergantung pada panjang dan percepatan gravitasi, (Anonima, 2013)

Gerak osilasi yang sering dijumpai adalah gerak ayunan. Jika simpangan osilasi tidak terlalu besar, maka gerak yang terjadi dalam gerak harmonik sederhana. Ayunan sederhana adalah suatu sistem yang terdiri dari sebuah massa dan tak dapat mulur. Ini dijunjukkan pada gambar dibawah ini. Jika ayunan ditarik kesamping dari posisi setimbang, dan kemudian dilepasskan, maka massa m akan berayun dalam bidang vertikal kebawah pengaruh gravitasi. Gerak ini adalah gerak osilasi dan periodik. Kita ingin menentukan periode ayunan. Pada gambar di bawah ini, ditunjukkan sebuah ayunan dengan panjang 1, dengan sebuah partikel bermassa m, yang membuat sudut θ terhadap arah vertical. Gaya yang bekerja pada partikel adalah gaya berat dan gaya tarik dalam tali. Kita pilih suatu sistem koordinat dengan satu sumbu menyinggung lingkaran gerak (tangensial) dan sumbu lain pada arah radial. Kemudian kita uraikan gaya berat mg atas komponenkomponen pada arah radial, yaitu mg cos θ, dan arah tangensial, yaitu mg sin θ. Komponen radial dari gaya-gaya yang bekerja memberikan percepatan sentripetal yang diperlukan agar benda bergerak pada busur lingkaran.Komponen tangensial adalah gaya pembalik pada benda m yang cenderung mengembalikan massa keposisi setimbang. Jadi gaya pembalik adalah :

F = −mg sinθ

Perhatikan bahwa gaya pembalik di sini tidak sebanding dengan θ akan tetapi sebanding dengan sin θ. Akibatnya gerak yang dihasilkan bukanlah gerak harmonic sederhana. Akan tetapi, jika sudut θ adalah kecil maka sin θ ≈ θ (radial). Simpangan sepanjang busur lintasan adalah x=lθ , dan untuk sudut yang kecil busur lintasan dapat dianggap sebagai garis lurus. Jadi kita peroleh :

Jadi untuk simpangan yang kecil, gaya pembalik adalah sebanding dengan simpangan, dan mempunyai arah berlawanan. Ini bukan laian adalah persyaratan gerak harmonic sederhana. Tetapan mg/l menggantikan tetapan k pada F=-kx. Contoh dari kategori ayunan mekanis, yaitu pendulum. Kita akan memulai kajian kita dengan meninjau persamaan gerak untuk sistem yang dikaji.

Gaya pemulih muncul sebagai konsekuensi gravitasi terhadap bola bermassa M dalam bentuk gaya gravitasi Mg yang saling meniadakan dengan gaya Mdv/dt yang berkaitan dengan kelembaman. Adapun frekuensi ayunan tidak bergantung kepada massa M, (Lukmayanti, 2013).

Alat Dan Bahan

Alat ayunan matematis : 2 unit

Stopwatch : 1 buah

Mistar gulung : 1 buah

Tali : 2 buah

Beban Ayunan : 1 buah

CARA KERJA

Teoritis

Menetapkan kedudukan penjepit tali yang jaraknya sampai kepangkal bola adalah 10cm sampai dengan 100cm, kemudian dimulai lagi dari 100cm sampai dengan 10cm.

Menyimpangkan ayunan sehingga membentuk sudut pada kisaran 50 sampai dengan 100, kemudian melepaskannya.

Mengukur dan menghitung untuk 10 ayunan dengan menekan stopwatch pada saat melalui titik setimbangnya.

VII. Hasil Pengamatan Dan Perhitungan

Tabel Pengamatan

No L1

cm 10T1 (T_1 ) ̅^2 L2

cm 10T2 (T_2 ) ̅^2 (T^2 ) ̅ T2(+) T2(-) ΔT2

1 10 5,85 0,34 100 16,62 3,84 16,08 31,82 0,34 15,74

2 20 8,37 0,7 90 18,45 3,40 14,06 27,42 0,7 13,36

3 30 10,48 1,9 80 17,28 2,98 12,42 23,85 1,09 11,33

4 40 12,5 1,48 70 15,84 2,93 13,46 25,44 1,48 11,98

5 50 13,95 1,95 60 13,27 1,76 7,48 13,01 1,95 5,53

6 60 15,25 2,37 50 13,50 1,82 9,63 15,69 2,37 6,66

7 70 16,29 2,65 40 12,06 1,45 7,70 12,75 2,65 5,05

8 80 17,73 3,14 30 10,30 1,06 6,91 10,68 3,14 3,77

9 90 18,58 3,45 20 8,23 0,67 5,73 8,01 3,45 2,28

10 100 19,66 3,86 10 5,62 0,31 5,01 6,16 3,86 1,15

Penghitungan

Menghitung (〖T_1〗^2 ) ̅ = ((10T_1 )/10)^2

a. (〖T_1〗^2 ) ̅ (10 cm) = ((10T_1 )/10)^2 = (5,85/10)^2 = 0,34

b. (〖T_1〗^2 ) ̅ (20 cm) = ((10T_1 )/10)^2 = (8,37/10)^2 = 0,7

c. (〖T_1〗^2 ) ̅ (30 cm) = ((10T_1 )/10)^2 = (10,48/10)^2 = 1,09

d. (〖T_1〗^2 ) ̅ (40 cm) = ((10T_1 )/10)^2 = (12,5/10)^2 = 1,48

e. (〖T_1〗^2 ) ̅ (50 cm) = ((10T_1 )/10)^2 = (13,95/10)^2 = 1,95

f. (〖T_1〗^2 ) ̅ (60 cm) = ((10T_1 )/10)^2 = (15,25/10)^2 = 2,37

g. (〖T_1〗^2 ) ̅ (70 cm) = ((10T_1 )/10)^2 = (16,29/10)^2 = 2,65

h. (〖T_1〗^2 ) ̅ (80 cm) = ((10T_1 )/10)^2 = (17,73/10)^2 = 3,14

i. (〖T_1〗^2 ) ̅ (90 cm) = ((10T_1 )/10)^2 = (18,58/10)^2 = 3,45

j. (〖T_1〗^2 ) ̅ (100 cm) = ((10T_1 )/10)^2 = (19,66/10)^2 = 3,86

Menghitung (〖T_2〗^2 ) ̅ = ((10T_2 )/10)^2

a. (〖T_2〗^2 ) ̅ (100 cm) = ((10T_2 )/10)^2 = (19,62/10)^2 = 3,84

b. (〖T_2〗^2 ) ̅ (90 cm) = ((10T_2 )/10)^2 = (18,45/10)^2 = 3,40

c. (〖T_2〗^2 ) ̅ (80 cm) = ((10T_2 )/10)^2 = (17,28/10)^2 = 2,98

d. (〖T_2〗^2 ) ̅ (70 cm) = ((10T_2 )/10)^2 = (15,84/10)^2 = 2,93

e. (〖T_2〗^2 ) ̅ (60 cm) = ((10T_2 )/10)^2 = (13,27/10)^2 = 1,76

f. (〖T_2〗^2 ) ̅ (50 cm) = ((10T_2 )/10)^2 = (13,50/10)^2 = 1,82

g. (〖T_2〗^2 ) ̅ (40 cm) = ((10T_2 )/10)^2 = (12,06/10)^2 = 1,45

h. (〖T_2〗^2 ) ̅ (30 cm) = ((10T_2 )/10)^2 = (10,30/10)^2 = 1,06

i. (〖T_2〗^2 ) ̅ (20 cm) = ((10T_2 )/10)^2 = (8,23/10)^2 = 0,67

j. (〖T_2〗^2 ) ̅ (10 cm) = ((10T_2 )/10)^2 = (5,62/10)^2 = 0,31

Menghitung (T^2 ) ̅ = ((〖T_1〗^2+ 〖T_2〗^2)/2)^2

a. (T^2 ) ̅ = ((〖T_1〗^2+ 〖T_2〗^2)/2)^2 = ((2,76+0,34)/2)^2 = (3,1/2)^2 = 2,40

b. (T^2 ) ̅ = ((〖T_1〗^2+ 〖T_2〗^2)/2)^2 = ((3,40+0,7)/2)^2 = (4,1/2)^2 = 4,20

c. (T^2 ) ̅ = ((〖T_1〗^2+ 〖T_2〗^2)/2)^2 = ((2,98+1,09)/2)^2 = (4,07/2)^2 = 4,14

d. (T^2 ) ̅ = ((〖T_1〗^2+ 〖T_2〗^2)/2)^2 = ((2,93+1,48)/2)^2 = (4,41/2)^2 = 4,86

e. (T^2 ) ̅ = ((〖T_1〗^2+ 〖T_2〗^2)/2)^2 = ((1,76+1,95)/2)^2 = (3,71/2)^2 = 3,44

f. (T^2 ) ̅ = ((〖T_1〗^2+ 〖T_2〗^2)/2)^2 = ((1,82+2,73)/2)^2 = (4,19/2)^2 = 4,38

g. (T^2 ) ̅ = ((〖T_1〗^2+ 〖T_2〗^2)/2)^2 = ((1,45+2,65)/2)^2 = (4,1/2)^2 = 4,20

h. (T^2 ) ̅ = ((〖T_1〗^2+ 〖T_2〗^2)/2)^2 = ((1,06+3,14)/2)^2 = (4,2/2)^2 = 4,41

i. (T^2 ) ̅ = ((〖T_1〗^2+ 〖T_2〗^2)/2)^2 = ((0,67+3,45)/2)^2 = (4,12/2)^2 = 4,24

j. (T^2 ) ̅ = ((〖T_1〗^2+ 〖T_2〗^2)/2)^2 = ((0,31+3,86)/2)^2 = (4,17/2)^2 = 4,34

Menghitung ΔT = T ̅2 – T ̅12

ΔT = T ̅2 – T ̅12= ( 2,40 – 0,34 ) = 2,06

ΔT = T ̅2 – T ̅12= ( 4,20 – 0,7 ) = 3,5

ΔT = T ̅2 – T ̅12= ( 4,14 – 1,09 ) = 3,05

ΔT = T ̅2 – T ̅12= ( 4,86 – 1,48 ) = 3,38

ΔT = T ̅2 – T ̅12= ( 3,44 – 1,95 ) = 1,49

ΔT = T ̅2 – T ̅12= ( 4,38 – 2,37 ) = 2,01

ΔT = T ̅2 – T ̅12= ( 4,20 – 2,65 ) = 1,55

ΔT = T ̅2 – T ̅12= ( 4,41 – 3,14 ) = 1,27

ΔT = T ̅2 – T ̅12= ( 4,24 – 3,45 ) = 0,79

ΔT = T ̅2 – T ̅12= ( 4,34 – 3,86 ) = 0,48

Menghitung T (+) = ( T2 + ∆T2 )

T (+) = ( T2 + ∆T2 ) = 2,40+ 2,06 = 4,46

T (+) = ( T2 + ∆T2 ) = 4,20 + 3,5 = 7,7

T (+) = ( T2 + ∆T2 ) = 4,14 + 3,05 = 7,19

T (+) = ( T2 + ∆T2 ) = 4,86 + 3,38 = 8,24

T (+) = ( T2 + ∆T2 ) = 3,44 + 1,49 = 4,93

T (+) = ( T2 + ∆T2 ) = 4,38 + 2,01 = 6,39

T (+) = ( T2 + ∆T2 ) = 4,20 + 1,55 = 5,75

T (+) = ( T2 + ∆T2 ) = 4,41 + 1,27 = 5,68

T (+) = ( T2 + ∆T2 ) = 4,24 + 0,79 = 5,03

T (+) = ( T2 + ∆T2 ) = 4,34 + 0,48 = 4,82

Menghitung T2 (-) = ( T2 – ΔT2 )

a. T2 (-) = ( T2 – ΔT2 ) = 2,40 – 2,06 = 0,34

b. T2 (-) = ( T2 – ΔT2 ) = 4,20 – 3,5 = 0,7

c. T2 (-) = ( T2 – ΔT2 ) = 4,14 – 3,05 = 1,09

d. T2 (-) = ( T2 – ΔT2 ) = 4,86 – 3,38 = 1,48

e. T2 (-) = ( T2 – ΔT2 ) = 3,44 – 1,49 = 1,95

f. T2 (-) = ( T2 – ΔT2 ) = 4,38 – 2,01 = 2,37

g. T2 (-) = ( T2 – ΔT2 ) = 4,20 – 1,55 = 2,65

h. T2 (-) = ( T2 – ΔT2 ) = 4,41 – 1,27 = 3,14

i. T2 (-) = ( T2 – ΔT2 ) = 4,24 – 0,79 = 3,45

j. T2 (-) = ( T2 – ΔT2 ) = 4,34 – 0,48 = 3,86

C. Perhitungan ralat

│Xn│ Xn – x ̅ │Xn – x ̅│ │Xn – x ̅│2

3,84 -0,86 0,86 0,739

3,4 -0,42 0,42 0,176

2,98 0 0 0

2,93 0,05 0,05 0,0025

1,76 1,22 1,22 1,488

14,91 1,21 2,55 2,4055

Harga rata-rata (x ̅)

x ̅ = (∑xn)/n= 14,91/5 = 2,98

Deviasi rata – rata (a)

a = (∑│Xn-x ̅│)/n = 2,55/5 = 0,51

Deviasi standar (s)

s = (∑│Xn-x ̅│2)/(n-1) = 2,4055/4 = 0,601

Deviasi rata – rata relative (A)

A = a/x ̅ x 100 % = 0,51/2,98 x 100 % = 17,11 %

Deviasi standar relative (S)

S = s/x ̅ x 100 % = 0,601/2,98 x 100 % = 20,17 %

Hasil pengukuran

x ̅ + a = 2,98 + 0,51 = 3,49

x ̅ – a = 2,98 – 0,51 = 2,47

Ketelitian

100% – A% = 100% – 17,11% = 82,89 %

VIII. PEMBAHASAN

Gaya gravitasi yaitu gaya tarik menarik antara 2 massa atau lebih. Menurut hukum II Newton,jika sebuah benda bermassa m yang tetap dan bergerak dengan percepatan a,maka gaya resultan dari system tersebut adalah F = m.a..jika hal ini diterapkan untuk m yang menderita gaya berat B sehingga mengalami percepatan R.Percepatan gravitasi bumi (g) adalah percepatan yang dialami oleh benda karena beratnya sendiri sedangkan berat benda adalah ukuran gaya tarik bumi terhadap benda lain. Jika terjadi interaksi antara 2 benda masing-masing bermasa m dan M, yang berjarak r, pada nilai tetapan gravitasi (tetapan Cavendish (G) = 6,679×10-8dyne cm2/gram2), maka besar gaya interaksi (F) tersebut adalah

Hukum gravitasi Newton dapat dinyatakan sebagai berikut : setiap partikel materi dialam semesta ini menarik setiap partikel lainnya dengan gaya yang berbanding lurus dengan hal kali massa partikel – partikel dan berbanding terbalik dengan pangkat dua dari jaraknya.gaya gravitasi yang bereaksi pada partikel-partikel membentuk pasanagan aksi – reaksi .meskipun massa partikel –partikel berbeda, pada masing-masing partikel bereaksi gaya yang sama besarnya.hukum gravitasi Newton berkenaan dengan gaya antara dua buah partikel . dapat juga ditunjukan , bahwa gaya gravitasi yang diberikan oleh suatu bola yang homogen adalah sama dengan seolah-olah semua massa bola tersebut dikumpulkan pada sebuah titik dipusat bola.dengan demikian bila bumi adalah bola yang homogen, massanya mE.

Pada ayunan matematis, Jika sebuah titik bermassa m tergantung pada seutas tali ringan di titik o dan m disimpangkan sehingga membentuk sudut θ terhadap sumbu vertikal di titik o tersebut. Setelah m dilepas akan bergerak ke titik setimbangnya oleh gaya balik (F) yang merupakan komponen dari gaya berat pada m, jika pajang tali tersebut l, dan percepatan gravitasi bumi g, maka F dapat ditulis sebagai :

F= -mg sinθ

Jika simpangan tersebut kecil sehingga busur lintasan bola (S) juga kecil, maka : sinθ ≈ θ =

Selama percobaan ayunan matematis kami menggunakan metode 20 kali percobaan dengan jarak menaik dari 10-100 cm dan dari 100-10 cm dengan hasil Deviasi standar (s) = 0,601, Deviasi standar relative (S)= 82,89 %, dan Ketelitian= 20,17 %.

Kendala yang kami dapatkan selama praktikum adalah ketelitian pada meteran karena cahaya ruangan kondisi redup dan kami mengantuk, kemudian ketelitian penggunaan stop watch, serta ketelitian menghitung yang sering salah karena kami mungkin lelah dan mengantuk.

IX. KESIMPULAN

Dari hasil praktikum ayunan matematis berdasarkan pengamatan dan pembahasan dapat disimpulkan :

Percepatan gravitasi bumi ( g ) adalah percepatan yang dialami oleh benda karena beratnya sendiri, serta karena pengaruh gaya tarik bumi.

Semakin panjang jarak kedudukan penjepit tali dari pangkal beban semakin lama waktu yang digunakan untuk setiap 10 ayunan.

Semakin pendek jarak kedudukan penjepit tali dari pangkal beban semakin sedikit waktu yang digunakan untuk setiap 10 ayunan.

Agar pengukuran periode memiliki ketelitian yang baik, disarankan pengukuran periodenya setiap 10 ayunan,dimulai dan diakhiri dititik setimbangnya.

Hasil ralat untuk perhitungan ayunan matematis yaitu deviasi standart (s) = 3,6 dengan deviasi standart relatif (S) = 19,45 %, dan hasil ketelitian = 91,84 %

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. 2012. Petunjuk Praktikum Fisika Dasar 1. Instiper Yogyakarta. Yogyakarta.

Artikel Sumber Ilmu & Informasi

0 Response to "Materi Fisika Ayunan Matematis"

Post a Comment